Les équations du véhicule électrique





- force de résistance au déplacement:
F = mb * g * p+mu * g * p + rho * SCx * V * V / 2 -Wpedal / V
- rendement du moteur
rmot = 100 / (1 + R * F / K / K / V)
- consommation en KJ par km
kjpkm = F * 100 / rmot
- autonomie en km
Xkm = e * mb / kjpkm
- consommation en wh par km
whpkm = kjpkm / 3.6
- équations du moteur
iamp = F / K
Umot = K * V + R * iamp
- conversion dc-dc par le contrôleur pwm
ibat = iamp * Umot / ubatt
- coût des batteries
coubat = mb * whpkg * eurpwh


Une quantité d'énergie E se définit comme le produit d'une force F par un déplacement X.
E(J) = F(N) . X(m)

E(J) exprimée en Joules désigne la quantité d'énergie contenue dans les batteries lorsqu'elles sont complètement chargées,
F(N) exprimé en Newton désigne la force de résistance à vaincre par la propulsion,
X exprimé en m désigne la distance parcourue.


I-Quantité d'énergie contenue dans les batteries.
Les fabricants de batteries indiquent leur tension nominale en Volts (V) et leur capacité en ampèresheures (Ah) : nombre d'ampères que la batterie peut délivrer pendant une heure (on dit alors que la capacité vaut pour un courant de décharge de ("1C") : La capacité se réduit si le courant de décharge dépasse 1C.
La quantité d'énergie contenue dans la batterie vaut le produit de ces deux quantités et est alors exprimée en wattheures (wh). Un wh (1 watt pendant 3600 secondes) vaut donc 3.6 kilojoules (KJ) puisque la définition du joule correspond à une puissance de 1 watt pendant une seconde.
La capacité d'une batterie est proportionnelle à sa masse mb (kg), le fabricant indique cette densité d'énergie e en wh/kg : Pour les batteries au plomb elle est de l'ordre de 30 wh/kg et de 90 wh/kg pour les batteries au lithium, mais il y a lieu de pondérer ces valeurs d'une part en fonction de la profondeur de décharge (dod) admise : Une profondeur de décharge limitée à 70% de la capacité nominale permet d'augmenter la durée de vie de la batterie, ainsi que du poids de structure supplémentaire exigé sur le véhicule pour transporter les batteries (environ 10% de leur poids nominal), ce qui ramène à 20 wh/kg la performance pratique des batteries au plomb et à 50 wh/kg celle des batteries au lithium.

E(KJ) = 3.6 . mb(kg) . e(wh/kg)

II-Forces de résistance à l'avancement ne dépendant pas de la vitesse :
-force de résistance due à la pente du terrain
Dans le champ de gravité de la pesanteur (g=9.81 m/s²)cette force désigne la composante du poids selon la direction du déplacement : Si le déplacement est de X(m) quand la variation de hauteur est de H(m) on dit que la pente de la trajectoire vaut p(%) = 100 . H / X, donc
Fp(N)= M(kg) . g (m/s²) . p% / 100 pour : M = mpas + mb
où mpas désigne la masse totale diminuée de la masse mb des batteries.
-Coefficient de roulement
Il équivaut à une pente supplémentaire d'environ 1%.
Fr(N)= M(kg) . g (m/s²) / 100

-Phases d'accélération
Lorsque la vitesse du véhicule augmente de γ . g (m/s²), la pente équivalente est de : pac% = γ
Par exemple un véhicule qui atteint la vitesse de 36 km/h (soit 10 m/s) en 10 secondes accélère avec une accélération de 1 m/s², c'est à dire environ 0.1 g, donc γ = 0.1 ce qui équivaut à une pente supplémentaire de 10% tant que le véhicule accélère.
La distance parcourue en accélération vaut V²/2/γ/g, soit 50 mètres dans l'exemple précédent.
Le supplément de pente moyenne dû aux accélérations est à pondérer par le rapport τ entre les distances parcourues en accélération et celles parcourues à vitesse uniforme.
Dans l'exemple précédent si chaque phase d'accélération de 50 mètres est suivie d'une phase à vitesse uniforme (avant freinage et arrêt par exemple) de 5 km (soit τ=0.01), le taux d'accélération moyen à introduire en donnée sera donc de τ*&gamma soit ici 0.01*0.1= un milli g, mais qui passera à un centi g en cas d'accélération fréquente en ville avec des arrêts tous les 500 mètres (soit un équivalent de pente de 1%).
Facc = γ . τ * M(kg) * g (m/s²)

III-Forces de résistance à l'avancement dépendant de la vitesse :
Résistance de l'air
Elle est proportionnelle au carré de la vitesse relative par rapport à l'air (vitesse sol - vitesse du vent par rapport au sol), à la densité de l'air 1.225 (20-Z)/(20+Z) exprimée en kg/m3 et en fonction l'altitude Z(km) par rapport au niveau de la mer, ainsi qu'à la demie surface frontale corrigée du coefficient de profilage : SCx(m²).
Au niveau de la mer et sans vent cette résistance aérodynamique équivaut donc à un supplément de pente de (1.225/2/3.6²). SCx(m²) . V²(kmh)² finalement , avec V en kmh, M en kg et SCx en m² :
FA(N) = (1.225/2/3.6²). SCx(m²) . V²(kmh)²
Par exemple un véhicule de masse 100 kg roulant à 10 km/h avec une surface frontale corrigée de 1 m² opposera une résistance de l'air équivalent à une pente supplémentaire de 0.5%, mais 2% à partir de 20 km/h et 8% à partir de 40 km/h.
Puissance d'appoint hybride
Une puissance d'appoint W(watts) se traduit par une force de propulsion W/V, la vitesse V étant exprimée en m/s, c'est à dire une réduction de la pente apparente de W/V/M/g.
Par exemple un vélo assisté de poids total (avec cycliste) 100 kg roulant à la vitesse de 7 m/s soit 25 km/h environ en développant une puissance musculaire de 100 watts réduit ainsi la pente apparente de 100/70 = 2.8 % (c'est à dire qu'avec cette puissance il compense les équivalents de pente de la résistance au roulement de 1% et de la résistance aérodynamique de 1.7%)
FP(N) = - W(watts) * 3.6 / V(kmh)

- IV - Rendement de conversion électro-mécanique.
Le rendement r(%) du moteur électrique et des organes de transmission se traduit par une augmentation de la pente globale dans le rapport 100/r(%).
Par exemple si le rendement global (moteur + transmission) n'est que de 70% la pente équivalente totale est à multiplier par le coefficient 100/70 = 1.4 (soit une majoration de 40%).
Le dégagement de chaleur par effet joule dans les circuits électriques, responsable de la baisse du rendement du moteur, dépend du courant qui traverse ces circuits qui lui-même dépend du couple moteur, et par conséquent de la force F (N) qui s'oppose au déplacement du véhicule.
F(N)=Fp+Fr+Facc+FA+FP
En première approximation * le moteur électrique peut se schématiser par un modèle simple, ne tenant compte que du rapport entre la vitesse et la force contre-électromotrice (kv en rpm/volt) ainsi que de la résistance R(Ω) des conducteurs du circuit.
U (volts) = K(volts/kmh) * V(kmh) + R(Ω) * I (Ampères) : Loi d'Ohm<7td>
F(N) = 3.6 * K * I : Conservation de l'énergie
Le rendement de la propulsion, rapport entre la puissance mécanique fournie F(N)*V(kmh)/3.6 en watts et la puissance électrique dépensée U(V)*I(A)
vaut donc r=K(Volts/kmh)*V(kmh)/U(Volts)=1/(1+R.I/(K.V))=1/(1+F.R/(3.6K².V))
r %= 100 / [ 1 + 3.6*R/K² * F(N) /V (kmh) ] ]
Par exemple pour une masse totale du véhicule de 200 kg, dans une pente de 5%, avec une résistance électrique de 1 Ω et un moteur opposant une force contre-électromotrice de 1 volt par kmh et roulant à la vitesse de 25 km/h le rendement vaudra 1/(1+1000/900)= 48 %.
Dans une pente constante le rendement augmente avec la vitesse pour tendre vers 100% quand la vitesse devient suffisante, mais en raison de la résistance de l'air qui augmente avec le carré de la vitesse le rendement rediminue à partir d'une certaine vitesse pour tendre à nouveau vers zéro quand la vitesse est élevée, si bien que dans une pente donnée il existe pour chaque véhicule une vitesse d'autonomie maximale.
Lorsque la vitesse est faible le rendement du moteur l'est aussi puisque F(N) contient une composante indépendante de la vitesse divisée par la vitesse V qui rend le dénominateur de l'expression du rendement très élevé, le rendement du moteur augmente ensuite avec la vitesse, mais dès que la résistance de l'air proportionnelle au carré de la vitesse devient prépondérante le rendement du moteur s'effondre à nouveau pour tendre vers zéro à vitesse très élevée.

On peut, à défaut des données des constructeurs de moteurs ou de mesures au banc, évaluer approximativement le coefficient K (volts par kmh) en rapportant la tension nominale des batteries à la vitesse maximale (à vide) des roues soulevées du sol.

On peut aussi déterminer un ordre de grandeur de la résistance ohmique R ( Ω) du moteur en rapportant la puissance mécanique nominale Wn au rendement nominal du moteur rn et sous sa tension d'alimentation nominale Un : L'intensité du courant nominal vaut alors Wn/rn/Un tandis que la puissance perdue en chaleur par effet joule vaut le produit de la résistance ohmique R par le carré de cette intensité de courant :
R*(Wn/rn/Un)²=Wn*(1-rn) soit R=(1-rn)*rn²*Un²/Wn , par exemple une puissance nominale 500 watts au rendement de 80% (rn=0.8) sous une tension de 36 volts correspondrait à une résistance ohmique du moteur de 0.2*0.64*1300/500= 0.33 Ω , auxquels il conviendrait d'ajouter la résistance interne de la batterie, et celle des conducteurs de liaison entre batterie, controleur et moteur, le dispositif de commutation du moteur (charbons ou mosfet) étant pris en compte dans la mesure de son rendement.

* Des modèlisations de moteur beaucoup plus affinées sont disponibles sur le site de ebike.ca : Exemple de comparaison
Toutefois certaines présentations commerciales peuvent tendre à présenter les courbes de rendement des moteurs sous une forme avantageuse, par exemple en intégrant un limiteur de courant de batterie dans le contrôleur.

V - Consommation kilomètrique en wh/km

C(wh/km) = F(N) * 100 / r% / 3.6
Dans une pente de 2.6%, et tant que la résistance de l'air ne joue pas trop et que le rendement du moteur est proche de 1, la consommation en wh/km serait donc environ le dixième de la masse totale en kg, ce qui est généralement constaté par les utilisateurs (10 wh/km pour le vélo de 100 kg, 30 wh/km pour le scooter de 300 kg, 100 wh/km pour la voiture de 1000 kg)

VI --Autonomie en kilomètres
La distance Xm maximale que peut parcourir le véhicule emportant mb(kg) de batteries complètement chargées vaut donc :
Xm(km) = mb(kg) . e(wh/kg) ] / C(wh/km)

Un calculateur (javascript) permet de calculer l'autonomie en fonction de la masse des batteries mb qui sont emportées par le véhicule de masse "passive" (masse totale diminuée de la masse des batteries) mpas (kg) et roulant à la vitesse moyenne V (kmh), sans vent.





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